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Calcul approché d’intégrales: Méthode des rectangles

Calcul intégral en Python

1- Introduction au calcul intégral

Deux raisons ont pu vous pousser à la lecture de cet article. La première, c’est que vous connaissez le calcul intégral dans sa définition mathématique et que vous cherchez simplement à comprendre comment implémenter de tels calculs en Python (ou tout autre langage de programmation). La seconde, c’est que vous avez été attiré ici par votre esprit de curiosité.
Dans tous les cas, vous avez fait le bon choix. Le calcul intégral tient une place essentielle dans l’acquisition de données (au moyen, par exemple, d’un accéléromètre/gyroscope) ou le traitement de données (aspect probabiliste, statistiques, etc…)

On introduit généralement le calcul d’intégrales au lycée comme le fait de calculer « l’aire sous la courbe d’une fonction ». Plus généralement, le calcul d’intégrales permet aussi de déterminer des primitives de fonctions connues, c’est-à-dire des fonctions qui, lorsque nous calculerons leurs dérivées, nous donneront la fonction de départ.

Concrètement, si je cherche à calculer la primitive d’une fonction , je serai amené à effectuer le calcul suivant :

F(x) = \int f(x) dx

Le symbole \int , sorte de S étiré, provient en fait historiquement de la déformation du S de « somme ». En fait, une intégrale n’est qu’une somme qu’on qualifie de continue, c’est-à-dire que sa variable d’intégration peut prendre toutes les valeurs comprises entre les bornes a et b. Dans notre exemple, cela signifie que x \in [a, b]  ou encore, a \leq x \leq b  lorsque nous calculerons l’intégrale.
Si je m’attarde sur la notion mathématiques, c’est parce qu’elle va me permettre de justifier de l’utilité du calcul intégral et de la nécessité d’avoir développé des méthodes informatiques permettant son implémentation.
Lorsque l’on calcul « à la main » une intégrale, on se retrouve à déterminer la primitive de la fonction de manière instinctive, en utilisant les primitives que l’on connait déjà et en « bidouillant » la fonction de départ de sorte à la décomposer comme somme ou composée de fonctions dont on connait les primitives. On voit ici que l’instinct humain est essentiel dans la démarche et que l’on ne peut donc pas implémenter un tel algorithme sur un ordinateur. Pourtant, son calcul est absolument essentiel. Un exemple simple : On sait que la vitesse d’un point se définie comme la dérivée par rapport au temps de sa position, c’est-à-dire le quotient de la variation de sa position sur un intervalle de temps aussi petit que possible. En particulier, on écrit :
v(t) = \frac{dx(t)}{dt}

Il en va de même pour l’accélération qui prend cette fois-ci la valeur de la dérivée de la vitesse (variation de la vitesse sur un instant donné) :
a(t) = \frac{dv(t)}{dt}

Alors, étant donné qu’un accéléromètre ne nous délivre qu’une variation d’accélération, on veut pouvoir remonter facilement à la position angulaire de notre système. On va donc procéder à une double intégration :
a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{dx(t)}{dt} \Leftrightarrow x(t) = \int \!\!\! \int a(t) dt

Le calcul d’intégrales est donc absolument nécessaire dans ce cas mais ce n’est qu’un cas parmi tant d’autres que vous pourrez rencontrer.
Ainsi, si vous êtes par exemple étudiant et que l’on vous propose d’apprendre à utiliser la méthode des rectangles, vous ne pouvez négliger ce point. C’est un outil essentiel dans votre vie d’étudiant qui pourrait vous permettre de résoudre de nombreux problèmes.

Là est l’intérêt de la définition comme « aire sous la courbe » d’une fonction pour une intégrale. En effet, si l’on ne peut apprendre à un ordinateur à déterminer une primitive, il semble déjà plus facile de l’amener à calculer une aire. Et pour faciliter encore plus le travail, le mathématicien allemand Bernhard Riemann a proposé de simplifier cette aire en une succession de petits rectangles de la manière suivante :

Méthode des rectangles: principe

Illustration du principe de la méthode des rectangles

Je vous propose donc de développer un petit script Python qui se chargera pour nous de calculer l’aire sous la courbe, c’est-à-dire l’intégrale, d’une fonction entre deux points.

2- Programme

Je vous propose de commencer sans attendre en définissant une fonction. Nous utiliserons dans cette exemple la fonction la plus simple qui soit :

f(x) = x

C’est une fonction linéaire, très simple, dont tout étudiant de prépa connait particulièrement bien l’intégrale entre 1 et 2 qui vaut \frac{3}{2} et entre 1 et 3 qui vaut \frac{5}{2}. Cela nous permettra de vérifier rapidement la validité de notre programme.
J’introduis donc ma fonction f(x) dans Python :

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def f(x):
    return x

Ensuite, je vous propose la même image que précédemment afin d’expliquer le principe de la méthode des rectangles :

Méthode des rectangles: principe

Illustration du principe de la méthode des rectangles

Sur cette image, on repère les deux bornes d’intégrations, a et b, et ce que l’on appelle les subdivisions. Le nombre de subdivisions, c’est en fait le nombre de rectangles et il correspond à la précision de calcul de l’intégrale. Plus ce nombre est grand, plus le calcul est précis mais plus il est long à réaliser. Il y a donc un juste milieu à déterminer…

Cette variation sur la précision vient des écarts que l’on repère entre les rectangles et la courbes. Plus les rectangles sont nombreux entre les bornes a et b, plus ces écarts sont faibles. Voici pour preuve le même calcul d’intégrale illustré avec un nombre n de subdivision supérieur au précédent :

Méthode des rectangles: précision

Illustration de l’importance du nombre de subdivisions dans la méthode des rectangles

L’objectif va donc être de calculer l’aire de chacun des rectangles et d’en faire la somme avant de l’afficher à l’utilisateur. Pour cela, je vous propose le schéma suivant, situation simplifié qui va me permettre de détailler le calcul de l’aire d’un rectangle de la méthode (on a pris ici n=2, soit 2 subdivisions entre les bornes a et b).

Méthode des rectangles: modèle à n=2

Illustration de la méthode des rectangles avec n=2 subdivisions

On remarque que les dimensions des rectangles sont de \frac{b-a}{n}  en largeur et de f\left (a + k*\frac{b-a}{n}\right )  en hauteur. J’explique ces valeurs : La valeur \frac{b-a}{n}  traduit le fait que l’on découpe l’intervalle [a, b]  en n subdivisions. Vous pourrez vous convaincre seul sur un dessin à main levé qu’alors, si l’on veut diviser cet intervalle en n subdivisions, la « largeur » de chaque subdivision sera de \frac{b-a}{n} . Pour la valeur f\left (a + k*\frac{b-a}{n}\right ) , l’idée est la même. La partie gauche du rectangle (celle à laquelle est calculée la hauteur du rectangle) correspond en fait à la valeur de la borne inférieure (a ici) à laquelle on a ajouté k fois la largeur des rectangles. Le k correspond à « l’index » de chacun des rectangles. Le premier a pour index 0, le second 1, etc… Cette variable k a surtout l’avantage de pouvoir être traduite simplement en Python. Ainsi, le calcul de l’aire d’un rectangle s’effectue de la manière suivante :

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a = 1
b = 2
 
largeur = (b-a)/n
hauteur = f(a + k*(b-a)/n)
aire = largeur * hauteur

Attention : Cette structure n’est pas directement valable en Python et, si vous tentez de l’exécuter, devrait vous renvoyer une erreur car la variable k n’est pas définie

Alors le calcul de la somme se révèle être très simple à l’aide d’un boucle for :

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a = 1    # Borne d'intégration inférieure
b = 2    # Borne d'intégration supérieure
n = 20   # Nombre de subdivisions
 
integrale = 0   # Variable stockant la somme des aires
for k in range(0, n):
    largeur = (b-a)/n
    hauteur = f(a + k*(b-a)/n)
    aire = largeur * hauteur
    integrale += aire
 
print(integrale)

Puis le script final :

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def f(x):
    return x
 
a = 1    # Borne d'intégration inférieure
b = 2    # Borne d'intégration supérieure
n = 20   # Nombre de subdivisions
 
integrale = 0   # Variable stockant la somme des aires
for k in range(0, n):
    largeur = (b-a)/n
    hauteur = f(a + k*(b-a)/n)
    aire = largeur * hauteur
    integrale += aire
 
print(integrale)

Si vous exécutez ce script, vous devriez obtenir une valeur d’intégrale de 1.47 environ, étonnement proche de la valeur \frac{3}{2}   ne trouvez-vous pas ? Vous aurez tout loisir d’augmenter le nombre de subdivisions pour voir les conséquences sur la précision du calcul. De même, vous avez la possibilité de changer les bornes d’intégration et même la fonction à intégrer.

3- Conclusion

Vous l’aurez vu par vous-même, la méthode d’intégration dite « des rectangles » est en fait relativement simple à mettre en œuvre en Python mais aussi dans d’autres langages dont nous avons l’habitude ici (Java, C++, etc…)
C’est une méthode essentielle dans la manipulation de certains capteurs et qui permet d’obtenir une précision convenable en un minimum de temps (tant au développement qu’à l’exécution du programme)

J’espère dans cet article être parvenu à vous transmettre les fondamentaux du calcul d’intégrales par des méthodes informatiques. Dans le cas contraire, n’hésitez pas à commenter cet article (d’ailleurs, si vous l’avez aimé, vous pourrez aussi nous en faire part ;-))

Fabien A.

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