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Illustration de l'article "Electronique, approche théorique"

I- Introduction

Ne vous êtes-vous jamais posé la question de savoir comment ou pourquoi le circuit électronique que vous avez devant les yeux exécute réellement ce que vous lui demandez ? Non ? Parce que nous oui !
En fait, pour comprendre cette science de la théorie, il faut s’intéresser aux phénomènes physiques en jeu et, malheureusement (ou avec joie pour d’autre), il faudra s’intéresser aux outils mathématiques afin de comprendre pleinement ce à quoi nous sommes confrontés.
Si ce tutoriel présentera certaines lois classiques d’électronique comme les lois de Kirchhoff, nous nous intéresserons aussi en détail à l’analyse de l’évolution d’une tension dans un circuit RC (Résistance / Condensateur).
Bien sûr, dans ce tutoriel, finies les contraintes de la vraie vie, nous vivrons dans un monde sans pertes, sans dissipation, bref un monde idéal. En mathématiques ou en physique, on appelle ça un modèle et croyez nous, il vaut mieux pour que nous restions dans ce cadre…
Certaines notions abordées sont étudiées en classes préparatoires scientifiques (maths sup/ maths spé). Nous essaierons de vulgariser au maximum. C’est l’objet de ce tutoriel et nous ferons en sorte que le plus grand nombre puisse comprendre ce que nous expliquons. N’hésitez pas à poser des questions complémentaires en commentaire, ou à nous corriger si des coquilles se glissent dans nos présentations !

II- Lois de Kirchhoff

Avant d’aller plus loin, il nous sera nécessaire de nous baser sur deux principes « fondamentaux » en électronique et sur un principe qui, pour le coup, est considéré comme fondamental pour la physique toute entière. Le premier, c’est celui de la conservation de la charge, il caractérise le fait que dans un système fermé (sans transfert de matière avec l’extérieur), la charge se conserve dans l’ensemble du circuit.
Partant de cette constatation, Kirchhoff, physicien allemand, a établi deux lois majeures en électronique, la loi des nœuds et la loi des mailles.

Loi des noeuds

 

Loi des mailles

III- Quelques formules

Il nous faudra admettre quelques formules pour étudier un système électronique. Je vous propose d’étudier ici les caractéristiques d’un condensateur et d’une résistance (circuit RC). Voyons ensemble quelques formules qui pourraient bien nous être utiles:
  

Pour le condensateur:

q=\frac{di(t)}{dt}
q est la charge du condensateur, i(t) est l’intensité du courant qui le traverse à l’instant t

q=C.u(t)
q est encore la charge du condensateur, C est sa capacité en farad, u(t) la tension à ses bornes à l’instant t

  

Pour la résistance:

u(t)=R.i(t)
u(t) est la tension aux bornes de la résistance à l’instant t, R sa résistance en ohm et i le courant qui la traverse à l’instant t

  

Notion de dérivation mathématiques:

Un outil important qui nous servira tout au long de notre étude est l’utilisation des dérivées en mathématiques. Pour faire simple, c’est un outil qui nous permet d’étudier les variations d’une fonction. En fait, c’est un outil extrêmement puissant dont nous aurions du mal à nous passer en physique comme en mathématiques. Dans nos exemples, nous étudierons l’évolution de la tension aux bornes d’un dipôle et nous devrons donc faire appel aux dérivées. Si nous ne verrons pas vraiment ensemble comment dériver telle ou telle fonction, nous vous donnerons les dérivées dont nous aurons besoin. En réalité, il est nécessaire de connaitre un certain nombre de dérivées de fonctions usuelles et de fonctions composées lorsqu’on travaille dans le monde mathématico-physique. D’un point de vu des notations uniquement, vous devez savoir que les trois notations suivantes sont équivalentes:
\frac{dx}{dt} = \dot{x} = (x)'

Attention cependant, la dernière notation n’est absolument pas rigoureuse dans ce cadre, on symbolise plus régulièrement la dérivation d’une fonction de la manière suivante:
f'(x)

Nous utiliserons très régulièrement à première et la seconde notation, bien moins la dernière, plus utilisées en mathématiques cependant.
Posons donc les bases de notre étude, un petit schéma électronique…

IV- Présentation de l’étude

Présentation de l'étude mathématiques

Schéma du circuit RC étudié par l’approche mathématiques de l’électronique


Le condensateur, est initialement chargé d’une tension u_0

V- Début de l’étude

On a placé nos dipôles en convention générateur. On est face à un circuit RC-Série, le courant dans le circuit est donc constant et on peut écrire, grâce à la loi des mailles:
u_r(t) + u_c(t) = 0
Or, la loi d’Ohm nous donne:
u_r(t) = R.i(t)
Et les formules précédentes sur le condensateur donnent :
u_c(t) = \frac{q(t)}{C}
Alors, finalement il vient:
R.i(t) + \frac{q(t)}{C} = 0
\leftrightarrow \frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC}.q(t) = 0

On pose arbitrairement
\tau = R.C
On obtient alors:
\frac{dq}{dt} + \frac{1}{\tau}.q = 0
Autrement dit:
\dot{q}+\frac{1}{\tau}.q = 0  (E)

Cette équation est qualifiée d’équation différentielle du premier ordre, linéaire, sans second membre (donc homogène) et à coefficients constants.
Ouhlaaaa, une grande et vaste notion vient d’être abordée, celle des équations différentielles. Lançons-nous dans la résolution de celle que nous avons ci-dessus. Pour simplifier, une équation différentielle est une équation qui, à la différence d’une équation « algébrique », admettra une solution sous la forme d’une fonction. Si vous n’avez jamais eu de formation scientifique sur ce point, la résolution que nous allons détailler ci-dessous pourra vous sembler un peu complexe. Nous allons essayer d’expliquer chaque point et de détailler chacune des décisions que nous prendrons pour arriver à la résolution. Heureusement pour nous, cette équation est dite homogène, c’est-à-dire que son second membre est nul, et vous ne le savez peut-être pas encore mais cela va largement nous simplifier le travail puisque la solution est simplement une formule, là encore à connaitre par cœur lorsque l’on est en étude scientifique…
En fait, les équations différentielles ne sont pas toutes aussi simples, on a parfois des membres doublements dérivés (équations différentielles du second ordre), avec second membres, ou mêmes les deux à la fois.

VI- Résolution de l’équation différentielle

Rappelons (E):
\dot{q}+\frac{1}{\tau}.q = 0  (E)
Comme nous l’avons vu, cette équation différentielle est plus simple à résoudre. C’est une équation dite « homogène » qui se résout par la simple application d’une formule à connaître si l’on souhaite pouvoir en résoudre soi-même plus tard. Cette formule implique l’utilisation de la fonction exponentielle, nul doute que vous ayez déjà entendu ce mot puisqu’il est largement utilisé pour caractériser une évolution rapide d’un paramètre quelconque. En effet, la courbe caractéristique de la fonction exponentielle est la suivante:

Représentation de la fonction exponentielle

Représentation graphique de la fonction exponentielle tracée à l’aide du logiciel GeoGebra


On comprend alors cette augmentation rapide. Je n’entrerai pas en détail dans l’étude de cette fonction, c’est une fonction très utile, qui est caractérisée par deux points:
\frac{d}{dx}(e^x) = e^x
e^0 = 1
Bien, il est temps de revenir à notre équation différentielle. Cette dernière admet donc comme solutions les fonctions de la forme:
q(t) = A.e^{\frac{-t}{\tau}} , A \in \mathbb{R}

q(t)=Ae^((-t)/τ) ,A∈R
Nous avons bien dit les fonctions car il y en a une infinité en théorie grâce à la constante « A ». Bien sûr, nous allons devoir définir cette constante afin qu’elle caractérise exactement le circuit que nous avons choisi au départ. Pour cela, je vous propose de réinjecter notre solution dans u_c(t). Souvenons-nous d’abord de l’expression de &latex u_c(t)&s=1&bg=f8f8f8$:
q = C.u(t)
\leftrightarrow u_c(t) = \frac{q}{C}
On remplace alors « q » par la solution déterminée ci-dessus, on a alors:
u_c(t) = \frac{A.e^{\frac{-t}{\tau}}}{C}
Maintenant, il faut déterminer « A », pour cela on va utiliser les conditions initiales, en effet, on avait spécifié qu’à t = 0, u_c(t) = u_0, on a alors:
u_c(t=0)=\frac{A}{C}
\leftrightarrow A = C.u_0
Voilà notre constante exprimée, remplaçons « A » dans la solution par cette valeur:
q(t) = C.u_0.e^{-\frac{t}{\tau}}
Voilà, on a désormais l’équation qui régit la variation de la charge dans notre circuit. Mais pour nous, le plus intéressant serait de connaître l’évolution de la tension aux bornes du condensateur. Pour cela, on reprend notre formule de la tension du condensateur:
u_c(t) = \frac{q}{C}
Et on injecte cette fois-ci notre solution finale de l’équation différentielle, on a alors:
u_c(t) = \frac{C.u_0.e^{-\frac{t}{\tau}}}{C}
En simplifiant, il vient:
u_c(t) = u_0.e^{-\frac{t}{\tau}} avec \tau = R.C

Ensuite, on peut rentrer cette formule dans un logiciel qui permet de tracer des courbes, comme Geogebra ou Excel et observer l’effet d’une résistance ou d’une capacité différente.
Pour notre part, avec une résistance de 850 ohms, une capacité de 0,04 Farads et une tension u_0 = 4V, on obtient la courbe suivante:

Evolution de la tension dans un circuit RC

Représentation graphique de l’évolution de la tension aux bornes d’un condensateur dans un circuit RC obtenue à l’aide du logiciel GeoGebra


Le temps, en secondes, est en abscisse et la tension aux bornes du condensateur, en volts, est en ordonnée.

VII- Conclusion

Si vous avez eu le courage de lire en intégralité ce tutoriel, félicitation !
Vous devriez maintenant être en mesure d’étudier d’une manière plus mathématique un circuit électronique relativement simple. Relisez le tutoriel, comprenez chaque étape, posez vos questions et entraînez-vous avec des circuits un poil plus complexe avec deux résistances ou deux condensateurs. Evidemment, dans ce cas, il faudra utiliser les formules pour retrouver la résistance équivalente de deux résistances en série ou de deux condensateurs en série.

Ce tutoriel a été écrit par Fabien Aubret, relu et vulgarisé par Thomas Aubret et Grégoire Aubret.
Une relecture a été effectuée par un professeur de physique diplômé de l’Ecole Normale Supérieure (ENS), un grand merci à lui.

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